Главная  Промышленность 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

10.4. МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Оптимальные или близкие к ним СУ можно построить, используя методы математической логики. В дискретных ПСУ сигналом управления, как указывалось выше, служит давление сжатого воздуха. Оно должно иметь два четко различаемых значения; наличие избыточного давления на входах нли выходах элементов или системы в целом (в дальнейшем обозначать будем цифрой «1»), отсутствие избыточного давления (обозначать будем цифрой «О»),

Математическим аппаратом анализа и синтеза этих систем является двузначная алгебра логики (булева алгебра).

Некоторые определения и функции алгебры логики. Переменные в алгебре логики (булевой алгебре) обозначают буквами латинского алфавита и они принимают только два значения «О» и «1». Основу аппарата булевой алгебры составляют элементарные логические (булевы) функции, название и обозначения которых, и состояние переменных приведены в табл. 10.1.

Основой соотношений и законов булевой алгебры являются следующие постулаты."

1-1 = 1; 1 + 1 = 1;

0 + 1 = 1 + 0 = 1;

1 =0.

= «2 + 1.

(Xl + «2) + Xs= Xi+ (Х2 + х.

л;=0, если хф1; 0-0 = 0; д; = 1, если хфО; 0 + 0 = 0;

1.0 = 0-1 = 0;

6 = 1;

Операции над булевыми функциями, которые проводят при синтезе схем, основываются на следующих соотношениях и законах

л;+1 = 1 х-\-х=\

хЛ=х x-jc = 0

х+0=л: х= X

x-Q=0

Закон перестановки

ХХд ~ ХХ-\ Xj + X

Сочетательный закон (Х1-Х2)-Хз= Ху(х-Ха); Распределительный закон Xl- (Хг + х) = Xl-Х2 + Xl- Х3; Xl + хх = (Xi + Хг) - (Xj + Хз). Закон повторения

х-х...х=х; х+х+...+х=х.

Закон инверсирования

X-X2 = Xi + X2; Xi + X2=Xi-X2.

Дополнительные соотношения

Xi + XiX2 = Xi; Xl (xi + Х2) = Xi; Xi + XjXj = Xi + Xj-,

Xl - (Xi + X2) = Xi-Xa; X1X2 + X1X3 = Xl (Xa + X3).

(xi + Xj) (Xl + X3) = Xi + xx; X1-X2 + X2X3 + X1X3 = XiXg + X1X3;

(*1 + «2) [Xl + Хз) = X1X2 + iXg.

Логические операции умножения, сложения, инверсии, импликации и другие являются взаимно зависимыми и выражаются друг через друга. Системы логических операций, с помощью которых можно выразить все другие операции,

Логические функции

Обозначение логической функции

Логическая функция

Обозначение по ГОСТ 2.743-72

10 1

fi = X,

Повторение (функция ДА)

ft = Xl

То же

h = X,

Отрицание (функция НЕ, инверсия Xl)

f, = Хг

Отрицание (функция НЕ, инверсия Х;)

fs = Xi + Хг (ft = XtV Хг)

Дизъюнкция (логическое сложение, функция ИЛИ)

X, -

f, = ХХг (f. = Л Хг)

Конъюнкция (логическое умножение, функция И)

Xl ~ Хг - Xl =5 Хг)

Равнозначность (эквивалентность)

= Xi-> Хг

f, Xl <- Хг (/,= Хг -> Xl)

Импликация (импликация от Xl к Хг; функция ЕСЛИ-ТО)

Обратная импликация (импликация., от Хг к X,; функция ЕСЛИ-ТО)

fi„==Xi~X2 (fio = *i V Хг) (Ьо = Xl® Хг)

Неравнозначность (сумма по модулю 2; альтернатива, исключающее ИЛИ)



Обозначение логической функции

Логическая функция

fll = JCi ф

(fu = Т x) (111 = XiO Xl)

Стрелка Пирса (отрицание дизъюнкции, функция Вебба, функция НИ -НИ)

Обозначение по ГОСТ 2.743 - 72

fl2 = XifXi

if 12 = Xi-x:)

Штрих Шеффер; (инверсия конъюнкции)

fi3 - Xl Хг

Запрет по Х2 (отрицание импликации от Xl к х)

/14 = Хг Xl

Запрет по Xi (отрицание импликации от

Хг к Xl)

lib = 1

Единичная функция (константа единица, всегда истинная функция)

ft, = О

Нулевая функция (константа

ноль, всегда ложная функция)

называют функционально полными. Так, простейшими функционально полными будут системы: конъюнкции и инверсии; дизъюнкции и инверсии; операции Стрелка Пирса; импликации и др.

Выражение логических функций с помощью функционально полных систем требует в большинстве случаев выполнения значительного числа логических операций. Применение таких систем целесообразно лишь тогда, когда аппаратура, с по.мощью которой выполняются логические операции, будет элементарно простой по конструкции, недорогой по стои.мости и обладать достаточно высоким быстродействием. Во всех других случаях для реализации логической функции целесообразно использовать какую-либо избыточную систему, позволяющую сокращать число логических операций.

Наибольшее распространение получил избыточный набор, состоящий из трех логических функций - конъюнкции, дизъюнкции и инверсии (И, ИЛИ, НЕ).

Выражение элементарных логических функций через указанный набор приведеио в табл. 10.2.

Любая булева функция (фукция любой сложности и любого количества переменных) может иметь множество равносильных формул, отличающихся используемым видом элементарных функций. Все это множество при помощи формул булевой алгебры может быть приведено к форме, представляющей собой

Логические функций

Таблица 10.2

Функция

Формула

Равиозначиость

j = X, ~ X, =lci.X2 + Xi-Xz

Импликация от Xi к х..

f = ДС, -> JTo = ДГ, +

Импликация от Х2 к Xi

= Xl <r- Хг = Xi-\- Хг

Неравнозначность

f = Xi~ Хг Xix2 + ~XiX2

Стрелка Пирса

f = Xl 4- X, = Xi-\- Хг

Штрих Шеффера

f = X,/X2 = XiX2

Функция запрета по Хг

f =Xi Хг = Xi-X

Функция запрета по Xi

f=X2~Xi X,.X2

дизъюнкцию (конъюнкцию) элементарных конъюнкций (дизъюнкций), называемой дизъюнктивной - ДНФ {конъюнктивной - КНФ) норма.гьной формой.

Логическую функцию к нормальной форме приводят в следующем порядке: знаки операций импликации, равнозначности, неравнозначности. Штриха Шеффера, Стрелки Пирса, используя логические формулы заменяют на знаки конъюнкции, дизъюнкции и инверсии; знаки инверсии относят только к отдельным переменным; раскрывают все скобки; устраняют лишние знаки отрицания, исходя

из того, что х = х= х; х= х.

Пример, / = xixi (xi ~ xl) = (д: + хз) {хх + хх.) = хх xxx-i +

-\- xx.xg -j- х1х2х3 = хх. (1 -j- х3) -\- хх.2.хз - xix + xxxg.

Если ДНФ не содержит одинаковых слагаемых, г.с имеет слагаемых, содержащих одинаковые множители или переменную вл:есте с ее отрицанием и содержит в каждом слагаемом все входящие в форму переменные или их отрицания, то ее называют дизъюнктивной совершенной нормальной формой (ДСНФ). Аналогично определяют конъюнктивную совершенную нормальную форму (КСНФ).

Для предыдущего примера, преобразуя первый член путем хх. ххх--+ xxxi. так как ххх + xx.x = хх {х + х) = xix, получим ДСНФ

/ = хххз -\- х1х2х3 -\- ХДГаХз.

Кроме описанного метода задания булевых функций алгебраическим способом они могут задаваться и другими способами.

Булевые функции могут быть изображены с помощью таблиц истинности. Таблицы истинности состоят из {п -\- 1) столбцов, где п сто.лбцов отводятся для значений переменных изображаемой функции, а последний столбец - для значений самой функции. Число строк таблицы 2". В каждую строку записывают одну из возможных комбинаций значений переменных и соответствующее ей значение функции. Пример табличного изображения булевой функции трех переменных приведен в табл. 10.3.

Методика перехода от табличного изображения к алгебраическому в форме ДСНФ (КСНФ) следующая: выделить строки с единичным значением булевой



Таблица 10.3 Булева функция трех переменных

функции (с нулевым значением булевой функции); выписать для каждой отмеченной строки элементарные конъюнкции переменных (элементарные дизъюнкции инверсий переменных); соединить их знаком дизъюнкции (конъюнкции).

Пример, в табл. 10.3 выделяем строки с сдниич-иым значением функции - 011; ПО; 111.

Алгебраическое изображение булевой функции, представленной в табл. 10.3 в форме дизъюнкции элементарных конъюнкций, имеет вид:

/ = ХХ.Хз +XiX2X3 + Х.Хг.Х,.

Если в этой же таблице выделить строки с нулевыми значениями функции; ООО; 001; 010; 101; 100, то алгебраическая форма выразится в ви,;е конъюнкции элементарных дизъюнкций инверсий переменных:

/ = (Х1+Х2+Х3) (Xi+Хг + Хг) (Xl + X2+Xi) (.Xi+X2 + Х-г) (Xi +Хг + X,,).

Если в таблице истинности число строк с единичным и нулевым значениями функции одинаково, то безразлично, по какому пути следовать. Однако если в столбце, соответствующем значениям функции, преобладают единицы, то проще получать функцию по строкам, соответствующим нулевым значениям функции.

Если же имеется сравнительно мало строк, которым соответствует единичное значение функции, то надо поступать наоборот.

Синтез систем управления. СУ реализует логическую функцию, если всем возможным значениям переменных этой функции поставить в соответствие такие же сочетания значений входных сигналов СУ и если при этом значения функции совпадают со значением выходного сигнала.

Устройства, реализующие элементарные логические функции называют ло-гически.ми элементами. Логической системой управления называют СУ, построенную из логических элементов с целью реализации заданной функции.

Процесс синтеза СУ можно выполнять различными методами [1, 2, 4-8] и в общем случае его подразделяют на с.иедующие этапы: составление формализованного описания работы системы по известной циклограмме или словесному описанию; составление логических уравнений; упрощение логических уравнений; построение принципиальной схемы.

В зависимости от условий работы различают однотактные (комбинационные) и многотактные (последовательностные) СУ. В однотактных СУ состояние вы- ходов однозначно зависит от состояния входов в данный момент времени. В многотактных СУ состояние выходов определяется состоянием входов в данный момент времени и внутренним состоянием СУ, которое обусловлено комбинациями входных сигналов, поступивших в предыдущие моменты времени. Учет ранее поступивших входных сигналов обеспечивается введением элементов памяти (ЭП) или элементов (линий) обратной связи.

Элемент памяти в общем случае представляет собой устройство, в котором при поступлении входных сигналов значение выходных сигналов меняется на противоположное и остается неизменным («запоминается») после изменения значений входных сигналов на нулевые. Элементы (линии) обратной связи служат для введения в СУ промежуточных сигналов, определяемых состоянием выходов системы и назначением элементов обратной связи. Сигналы от элементов обратной связи в совокупности с входными сигналами определяют внутреннее состояние СУ.

Под состоянием СУ понимают совокупность значений входных, выходных и промежуточных переменных в некотором интервале времени, в течение которого указанные переменные сохраняют неизменные значения. Состояния СУ могут быть устойчивыми, когда остаются неизменными состояния входных, выходных и промежуточных переменных, и неустойчивыми, когда состояние входных переменных изменилось, а состояние промежуточных и выходных переменных еще им не соответствует.

Состояние входных переменных называют условным, если соответствующее им состояние выходных сигналов не определено. Условные состояния могут возникнуть, когда соответствующие состояния входов не могут иметь место (например, не могут быть одновременно включены два конечных выключателя,

Таблица 10.4 Таблица состояний

-(1*)

ограничивающие с двух сторон перемещение одного и того же подвижного органа), или когда проектировщику безразлично, как в этом случае сработает СУ.

Состояния входных переменных называют со-седни.чи, ec.iH они отличаются значением одной переменной.

Синтез однотактных систем управления обычно выполняют с помощью таблиц состояний [2, б] илн по методу Карно.

Рассмотрим метод синтеза однотактных СУ первым способом на примере построения СУ цилиндром, шток которого выдвигается при включении двух из трех входных устройств. По условиям функционирования СУ три входных устройства не могут быть включены одновременно.

По заданным условиям работы составляется таблица состояний, т. е. таблица истинности (табл. 10.4). В таблицу состояний записываются все возможные комбинации входных переменных (xj-х3), причем для каждой комбинации проставляется соответствующее значение выходной функции / («О» или «1»).

Условные состояния отмечаются в таблице, например, прочерками, с нх помощью можно упростить структуру СУ путем задания значения выхода (О* или 1*) на дальнейших этапах, исходя из получения более простого выражения для выходной функции.

В соответствии с правилами перехода от таблицы истинности к алгебраической форме записи для данного примера запишем: f = ххх-- atijcjxg + ххдгг-з-

Если в схеме имеется несколько выходов, то логическая функция записывается для каждого из них. Записанная по таблице состояний функция обычно содержит избыточность Иднуждается в упрощении (минимизации).

Под минимизацией понимают сведение к минимуму числа членов логической функции, числа переменных в каждом члене и числа знаков .логических операций, т. е. в конечном итоге числа логических элементов, необходимых для построения заданнойСУ.

Из рассмотрения логического уравнения и условного состояния (Xi = 1; 2 = 1; Х3 = 1) можно сделать вывод, что если задать для него значение функции, равное 1, и ввести соответствующий член в логическую функцию, то он будет отличаться от имеющихся значением одной переменной. Это позволит, используя соотношения булевой алгебры, упростить выражения. Обозначим соответствующее состояние выходной функции 1* (см. табл. 10.4) и соответствующим образом перепишем формулу:

/ = ххХз -[- ххХз -\- х1х2х3 + ххХа, так как XiXXg ~ XiXXg + XiXXs .... то можно записать

/ = х1х2х3 -- х1х2х3 -\- ХХХз + х1х2х3 -f- ХХ.Хз -j- х1х2х3.

Группируя и вынося общие части за скобки, получаем: / хХз + х f ХуХ. (Хз + х2) хл (Хз Н- Хз),

так как Jc -f д; = 1 и дг-1 = л:, го / = хХз + х-Хз + х-х.

Синтез однотактных СУ вторым способом проводится с помощью матриц Карно.

Матрицы Карно изображаются в виде прямоугольников, содержащих 2" клеток, где п - число переменных.

Число столбцов определяется как 2", а число строк как 2""", где I < m < < п. Каждой клетке матрицы соответствует один член ДСНФ. Столбцы и строки в матрицах обозначают таким образом, чтобы соседние клетки представляли собой соседние состояния переменных, т. е. состояния, отличающиеся значением одной переменной. В каждую клетку вписывается значение выходной функции с учетом условных состояний.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33